“Algebra va uning tatbiqlari” laboratoriyasining yaratilish tarixi Matematika instituti tashkil topgan paytda o‘z faoliyatini boshlagan “matematik analiz va mexanika” bo‘limiga borib taqaladi. “Matematik analiz va mexanika” bo‘limi 1944-yil 16-yanvarda  tashkil etilgan bo‘lib, 1944-1960 yillar davomida bo‘limda N.N.Nazarov, M.T.Urazbaev, D.X.Karimov, I.S.Arjanix, M.S.Areshev, M.F.Shulgin kabi olimlar faoliyat yuritishgan.

Dastlabki yillar davomida “matematik analiz va mexanika” bo‘limiga M.S.Areshev mudirlik qilgan bo‘lsa, 1956-yilda ushbu bo‘lim “matematik analiz” va “nazariy mexanika” bo‘limlariga ajratilgan. “Matematik analiz” bo‘limiga S.X.Sirojiddinov rahbarlik qilgan bo‘lsa, “nazariy mexanika” bo‘limi mudiri bo‘lib I.S.Arjanix ish boshlagan. “Matematik analiz” bo‘limida 1956-1958 yillar davomida S.X.Sirojiddinov, 1958-1960 yillarda N.P.Romanov, 1960-1980 yillarda I.S.Arjanix, 1980-1985 yillarda esa G.P.Matviyevskaya mudir  lavozimida faoliyat ko‘rsatishgan.

 1979-yilga kelib Matematika institutida “funksional analiz” bo‘limi tashkil qilinib, uning rahbari sifatida T.A.Sarimsoqov 1979-1986 yillar davomida ishlagan.

1986-yilda “matematik analiz” va “funksional analiz” bo‘limlari birlashtirilib,  yangi bo‘lim sifatida “algebra va analiz” nomi bilan ish faoliyatini boshlagan. “Algebra va analiz” bo‘limida 1986-1988-yillarda T.A.Sarimsoqov, 1988-2018 yillarda Sh.A.Ayupov bo‘lim mudiri lavozimida faoliyat yuritishgan. 2018-yildan 2019-yilgacha U.A.Rozikov bo‘limga rahbarlik qilgan.

O‘zbekiston Respublikasi Prezidentning 2019-yil 9-iyuldagi “Matematika ta’limi va fanlarini yanada rivojlantirishni davlat tomonidan qo‘llab-quvvatlash, shuningdek, O‘zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi Matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi PK-4387-sonli qaroriga asosan “algebra va analiz” bo‘limi “algebra va uning tatbiqlari” laboratoriyasiga o‘zgartirildi.

Hozirgi kunda “algebra va uning tatbiqlari” laboratoriyasida akad. Sh.A.Ayupov, akad. J.Xadjiev, prof. U.A.Rozikov, prof. B.A.Omirov, f.-m.f.d. I.S.Raximov, f.-m.f.d. U.U.Jamilov, f.-m.f.d. F.X.Eshmatov, f-m.f.d. A.X.Xudoyberdiyev, f.-m.f.n. R.A.Dadaxodjaev, f.-m.f.n. J.Q.Adashev, PhD. O.N.Hakimov, PhD. R.M.Turdibaev, PhD. Q.K.Abdurasulovlar ilmiy faoliyat olib borishmoqda.

Operatorlar algebrasi:

·        Barcha lokal o‘lchovli operatorlar algebrasi, barcha o’lchovli  operatorlar algebrasi, fon Neeyman algebralari bilan assotsirlangan va aniq normal izi yarim chekli bo‘lgan Arens algebralarining differensiyallashlari to’liq tavsiflangan.

·        Yarim chekli cheksiz xos fon Neyman algebrasiga bog’langan τ-kompakt operatorlar algebrasida differensiyallash amalining avtomatik tarzda uzluksiz bo‘lishi isbotlangan

·        Differensiallashlar fon-Neyman algebralariga bog‘langan barcha τ-o‘lchovli operatorlar algebrasi elementlari bilan hosil qilinishi ko‘rsatilgan.

·        Regulyar kommutativ algebralari va I tipli fon-Neyman algebralariga bog‘langan o‘lchovli operatorlar algebralari lokal differensiyallashlarining tavsifi berilgan.

·        Kommutativ birlik regulyar algebralarda differensialash bo‘lmagan lokal differensiallashlarning mavjudlik shartlari topilgan

·        Abel komponentasiga ega bo‘lmagan I tipli fon-Neyman algebralariga nisbatan o‘lchovli operatorlar algebralarining lokal differensiallashlari tavsiflangan.

Dinamik sistemalar:

·        Uch va to‘rt o‘lchamli simplekslarda aniqlangan barcha chetki Volterra operatorlari ergodik yoki noergodikligi bo‘yicha tasniflangan. Graflarga mos keluvchi kvadratik stoxastik operatorlar yagona qo‘zg‘almas nuqtaga ega ekanligi va bunday operatorlarning ixtiyoriy trayektoriyasi qo‘zg‘almas nuqtaga har qanday geometrik progressiyadan tezroq intilishi ko‘rsatilgan.

·        Har qanday chekli Abel gruppasiga mos kvadratik stoxastik operatorlarning ixtiyoriy trayektoriyasi yoki davriy yoki qo‘zg‘almas nuqtaga yaqinlashishi isbotlangan. Ikki o‘lchamli simpleksda berilgan ixtiyoriy qat’iy no Volterra operatori yagona qo‘zg‘almas nuqtaga ega ekanligi hamda bunday operatorlarning ikki va uch davrli trayektoriyalari mavjudligi ko‘rsatilgan.

·        Ikki jinsli populyatsiyaning ikki davrli trayektoriyaga ega Volterra kvadratik stoxastik operatori qurilgan. Bunday populyatsiya uchun kvadratik stoxastik operatorlari noergodikligining yetarli sharti topilgan va kichik o‘lchamli simpleksda topilgan bu shartning noergodiklik uchun zaruriy shart ham bo‘lishi ko‘rsatilgan.

·        Cheksiz o‘lchamli simpleksda Volterra va blokli Volterra kvadratik stoxastik operatorlari kiritilgan bo‘lib, ular uchun trayektoriyaning kuchli va kuchsiz yaqinlashish bo‘yicha limit nuqtalari to‘plami aniqlangan. Bu ikki turdagi limit nuqtalar to‘plami tasnifidan foydalangan holda noergodik Volterra operatorlarining mavjudligi isbotlangan.

·        Cheksiz o‘lchamli simpleksdagi Markov operatorlarining suryektivligi va ortogonallikni saqlashi orasidagi bog‘liqlik mezonlari topildi. Markov operatorlarining bu kabi xossalari chekli o‘lchamli simpleksdagidek ustma-ust tushmasligi isbotlandi. Shuningdek, Markov operatorlarining suryektivligi ba’zi integral tenglamalarning musbat yechimini topishdek tatbiqlarga ega ekanligi ko‘rsatilgan.

·      fazoda kvadratik stoxastik operatorlari aniqlangan hamda ularning cheksiz o‘lchamli simpleksdagi diskret kvadratik sotoxastik operatorlari bilan bog‘liqligi o‘rganilgan. Kvadratik stoxastik operatorlarining proyektiv suryektivligi diskret operatorlarning suryektivligidan kelib chiqishi ko‘rsatilgan.

 Leibniz algebralari:

•                    Chekli o‘lchamli nilpotent Li algebralar nazariyasidagi klassik natijalar hisoblangan Engel teoremasi, Lie teoremasi, Kartanning yechimlilik mezonlari, Kartan subalgebralarining qo’shmaligi kabi natijalar Leibniz algebralari uchun ham o`rinli bo`lishi isbotlangan.

•                    Nol-filiform, ta’biiy usulda graduirlangan filiform, kvazi-filiform va p-filiform Leibniz algebralarining tasnifi olingan.

•                    Nilindeksi maksimal bo‘lgan hamda superalgebraning o‘lchamiga teng bo‘lgan barcha chekli o‘lchamli nilpotent Leibniz superalgebralari tasniflangan.     

•                    Nilradikali berilgan yechiluvchan Leybniz algebralarining bir qancha sinflari tasniflangan hamda koo‘lchami yasovchilar soniga teng bo‘lgan Leibniz algebralari kogomologik qattiq ekanligi isbotlangan.

•                    Quyi pog‘onali algebralar o‘rganilib, birinchi va ikkinchi pog‘onali algebralar tasniflangan.

•                    4 o‘lchovli nilpotent Novikov, o‘ng kommutativ va chap simmetrik  algebralarning to‘liq algebraik va geometrik tasniflari olingan.

•                    Sodda va yarim sodda Li algebralarning barcha lokal va 2-lokal differensiallashlari oddiy ma’noda differensiallash bo‘lishi isbotlangan.

•                    Ixtiyoriy nilpotent Li algebrasi oddiy ma’noda differensiallash bo`lmaydigan 2-lokal differensiallashga ega ekanligi ko‘rsatilgan.  

Gibbs o‘lchovlari:

•                    Statistik fizikaning Keli daraxtida berilgan Potts, SOS, HC, XY, Ising-Vannimenus kabi modellari uchun Gibbs o‘lchovlari nazariyasi rivojlantirildi. Xususan, Potts modeli uchun barcha translatsion-invariant Gibbs o‘lchovlari tasniflandi.

•                    HC, SOS va Potts modellari uchun davriy, kuchsiz davriy Gibbs o‘lchovlari qurildi. Qurilgan o‘lchovlar (berilgan model uchun) barcha Gibbs o‘lchovlari to‘plamining chetki nuqtasi bo‘lishi uchun haroratning kritik nuqtalari aniqlandi.

•                    Spin qiymatlari cheksiz bo‘lgan modellar uchun Gibbs o‘lchovlari qurilgan hamda haroratga bog‘liq holda faza almashishlari aniqlangan. Sanoqli spin qiymatli SOS modeli uchun gradiyent Gibbs o‘lchovlari qurildi. 2-tartibli Keli daraxtida berilgan SOS modeli uchun barcha translatsion-invariant va 4 davriy gradiyent Gibbs o‘lchovlari to‘plami haroratning o‘zgairishiga bog‘liq holda tavsiflandi.

•                    Keli daraxtining umumlashmasi hisoblangan daraxtda kvant Markov holatlari tushunchasi kiritildi.

•                    Noarhimed Gibbs o‘lchovlari nazariyasida umumlashgan p-adik Gibbs o‘lchovi tushunchasi kiritildi. Ising-Vannimenus, Potts modellari uchun umumlashgan p-adik Gibbs o‘lchovlari qurildi.

•                    Keli daraxtida berilgan Potts modeli uchun haqiqiy qiymatli Gibbs o‘lchovlaridan farqli ravishda p-adik qiymatli Gibbs o‘lchovlari    to‘plami istalgan davriy o‘lchovni o‘z ichiga olishi ko‘rsatildi. Shuningdek, bu model uchun translatsion-invariant Gibbs o‘lchovlari tasnifi ham haqiqiy va p-adik sonlar maydonida daraxt tartibiga bog‘liq holda keskin farq qilishi isbotlandi.

Algebraik geometriya:

•                    Koshul Kalabi-Yau algebralari uchun Kravley-Boevey-Etingof-Ginzburg ma'nosidagi siljigan bi-simplekt struktura mavjudligi ko‘rsatilgan.

•                    Algebraning bir necha sinflarining manfiy siklik gomologiyasi yoki siklik kogomologiyasi bo‘yicha algebra tuzilishining gravitatsiyasi aniqlangan.

•                    Kalabi-Yau algebralari, simmetrik Frobenius algebralari, bir xil modulli Poisson algebralari va bir xil modulli Frobenius Poisson algebralari o‘rtasidagi munosabatlar aniqlangan.

•                    2017 yilda Sh.A.Ayupov, K.K.Kudaybyergenov, B.A.Omirov U.A.Rozikovlar O‘zbekiston Respublikasining 1-darajali Davlat mukofoti bilan taqdirlanishdi.

•                    2021 yilda Sh.A.Ayupovga “O‘zbekiston Qahramoni” unvoni berilib, oliy nishon ­­ ­— “Oltin yulduz” medali topshirildi.

•                    U.A.  Rozikov 2017 yilda “Springer Nature Top Author” xalqaro mukofoti; 2018 yildan Butunjahon Fanlar akademiyasi (TWAS) akademigiga saylandi va 2020 yilda  COMSTECH   “Eng yaxshi ilmiy maqola” xalqaro mukofoti (Rozikov U.A. Jour. Math. Biology, 2017. V.75, No.6-7, p.1715—1733 maqolasi uchun) ga sazovor bo‘ldi.